【ChatGPT o1实际能力测试】计算从地球上发射一个火箭，绕过太阳再回到地球，计算飞行轨道（列方程求出解）

同学们，今天我们来讨论一个有趣的轨道力学问题：计算从地球上发射一个火箭，绕过太阳再回到地球，求出这个飞行轨道。这个问题涉及到天体力学中的两体问题、开普勒定律以及能量和角动量的守恒，是理解航天器轨道设计的重要实例。

---

一、问题分析和假设

1. 简化假设：

• 两体问题：我们将火箭和太阳视为系统中的唯一两个天体，忽略其他行星和天体的引力影响。
• 地球轨道：假设地球绕太阳的轨道为圆形，半径为 $R$，轨道速度为 vEv_EvE​。
• 发射条件：火箭从地球轨道上的某一点以速度 v0v_0v0​ 发射，进入绕太阳的椭圆轨道。

2. 目标：

• 轨道设计：计算火箭的轨道参数（半长轴 $a$、离心率 $e$ 等），使其从地球出发，绕过太阳后回到地球。
• 运动方程：建立火箭在太阳引力场中的运动方程，求解其轨道。

---

二、理论基础

1. 开普勒定律：

• 第一定律（轨道定律）：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于焦点之一。
• 第二定律（面积定律）：行星与太阳连线在单位时间内扫过的面积相等。
• 第三定律（周期定律）：轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比，即 T2∝a3T^2 \propto a^3T2∝a3。

2. 能量和角动量守恒：

• 机械能守恒：在引力场中，火箭的总机械能 $E$ 保持不变。
• 角动量守恒：由于引力为中心力，火箭的角动量 $L$ 保持不变。

---

三、建立运动方程

1. 机械能表达式：

总机械能为：

E=12mv2−GMmrE = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{r}E=21​mv2−rGMm​其中：

• $m$ 为火箭质量（可约去）。
• $v$ 为火箭速度。
• $G$ 为引力常数。
• $M$ 为太阳质量。
• $r$ 为火箭到太阳的距离。

2. 角动量表达式：

$$L=mvr\cos \varphi$$其中 $\varphi$ 为速度方向与径向的夹角。由于角动量守恒，我们可以在不同位置之间建立关系。

---

四、求解轨道参数

1. 设定火箭轨道的远日点和近日点：

• 近日点距离（火箭离太阳最近的距离）：rpr_prp​。
• 远日点距离（火箭离太阳最远的距离）：rar_ara​。

2. 半长轴和离心率：

• 半长轴 $a$：

a=rp+ra2a = \frac{r_p + r_a}{2}a=2rp​+ra​​

• 离心率 $e$：

e=ra−rpra+rpe = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p}e=ra​+rp​ra​−rp​​3. 轨道周期 $T$：

根据开普勒第三定律：

T=2πa3GMT = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G M}}T=2πGMa3​​

---

五、具体计算步骤

步骤 1：设定初始条件

• 地球轨道半径：$R$。
• 地球轨道速度：

vE=GMRv_E = \sqrt{\frac{G M}{R}}vE​=RGM​​步骤 2：选择火箭轨道参数

为了使火箭轨道与地球轨道相交，我们可以设定：

• 远日点：ra=Rr_a = Rra​=R（与地球轨道相交）。
• 近日点：选择一个小于 $R$ 的值，例如 rp=kRr_p = k Rrp​=kR，其中 $0<k<1$。

步骤 3：计算半长轴和离心率

a=R+kR2=(1+k)R2a = \frac{R + k R}{2} = \frac{(1 + k) R}{2}a=2R+kR​=2(1+k)R​ e=R−kRR+kR=1−k1+ke = \frac{R - k R}{R + k R} = \frac{1 - k}{1 + k}e=R+kRR−kR​=1+k1−k​步骤 4：计算轨道周期 $T$

T=2π((1+k)R2)3GMT = 2\pi \sqrt{\frac{\left( \frac{(1 + k) R}{2} \right)^3}{G M}}T=2πGM(2(1+k)R​)3​​步骤 5：计算火箭在地球轨道处的速度 v0v_0v0​

利用能量守恒：

12v02−GMR=−GM2a\frac{1}{2} v_0^2 - \frac{G M}{R} = -\frac{G M}{2 a}21​v02​−RGM​=−2aGM​解得：

v0=2(GMR−GM2a)=2GM(1R−1(1+k)R)v_0 = \sqrt{2 \left( \frac{G M}{R} - \frac{G M}{2 a} \right)} = \sqrt{2 G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{(1 + k) R} \right)}v0​=2(RGM​−2aGM​)​=2GM(R1​−(1+k)R1​)​步骤 6：计算火箭相对于地球的发射速度

由于地球在轨道上以速度 vEv_EvE​ 运动，火箭的发射速度相对于地球为：

v发=v0−vEv_{\text{发}} = v_0 - v_Ev发​=v0​−vE​

---

六、示例计算

假设：

• $GM=1$（采用天文单位，简化计算）。
• $R=1$ 天文单位（AU）。
• 选择 $k=0.5$，即 rp=0.5Rr_p = 0.5 Rrp​=0.5R。

步骤 1：计算半长轴和离心率

a=(1+0.5)×12=0.75 AUa = \frac{(1 + 0.5) \times 1}{2} = 0.75 \ \text{AU}a=2(1+0.5)×1​=0.75 AU e=1−0.51+0.5=0.51.5≈0.333e = \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = \frac{0.5}{1.5} \approx 0.333e=1+0.51−0.5​=1.50.5​≈0.333步骤 2：计算轨道周期 $T$

T=2π(0.75)31=2π×0.6495≈4.082 单位时间T = 2\pi \sqrt{\frac{(0.75)^3}{1}} = 2\pi \times 0.6495 \approx 4.082 \ \text{单位时间}T=2π1(0.75)3​​=2π×0.6495≈4.082 单位时间步骤 3：计算地球轨道速度

vE=11=1 单位速度v_E = \sqrt{\frac{1}{1}} = 1 \ \text{单位速度}vE​=11​​=1 单位速度步骤 4：计算火箭在地球轨道处的速度 v0v_0v0​

v0=2(1−12×0.75)=2(1−23)=2×13≈0.8165v_0 = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{2 \times 0.75} \right)} = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{2}{3} \right)} = \sqrt{2 \times \frac{1}{3}} \approx 0.8165v0​=2(1−2×0.751​)​=2(1−32​)​=2×31​​≈0.8165步骤 5：计算火箭相对于地球的发射速度

v发=v0−vE=0.8165−1=−0.1835v_{\text{发}} = v_0 - v_E = 0.8165 - 1 = -0.1835v发​=v0​−vE​=0.8165−1=−0.1835负号表示火箭需要在与地球运行方向相反的方向上以 $0.1835$ 的速度发射。

---

七、结果分析

• 轨道特性：火箭进入一个椭圆轨道，近日点为 $0.5$ AU，远日点为 $1$ AU。
• 轨道周期：约为地球轨道周期的 $0.65$ 倍。
• 发射速度：火箭需要减速，与地球运行方向相反，以相对速度 $0.1835$ 单位速度发射。

---

八、地球和火箭的会合

为了使火箭回到地球，我们需要确保火箭和地球在同一时间到达同一位置。

1. 会合条件：

• 火箭的轨道周期 $T$ 和地球的轨道周期 TE=2πT_E = 2\piTE​=2π 之间需要满足以下关系：

nT=mTEn T = m T_EnT=mTE​其中 $n$ 和 $m$ 为整数，表示经过 $n$ 个火箭轨道周期和 $m$ 个地球轨道周期后，二者再次相遇。

2. 调整轨道参数：

• 通过调整近日点距离 rpr_prp​ 或选择合适的 $k$ 值，使轨道周期满足上述关系。

---

九、总结

通过建立火箭在太阳引力场中的运动方程，利用开普勒定律和能量、角动量守恒，我们计算了火箭从地球出发，绕过太阳再回到地球的飞行轨道。

• 轨道设计：选择合适的轨道参数（rpr_prp​、$a$、$e$）以满足任务要求。
• 发射条件：计算火箭相对于地球的发射速度和方向。
• 会合策略：调整轨道周期，使火箭和地球在预定时间和位置相遇。

---

十、进一步思考

• 实际应用：在真实的航天任务中，需要考虑更多因素，如其他天体的引力影响、燃料限制和轨道修正等。
• 数值模拟：复杂的轨道设计通常需要借助计算机进行数值模拟和优化。

---